LovesTheTeam.com

Instrukcje

1

Jak rozwiązać problem geometrii, w której stanieTo jest tylko obwód i rogi? Oczywiście, jeśli mówimy o ostrym trójkąta lub wielokąta, to taki problem nie może być rozwiązany bez wiedzy długości jednej ze stron. Jednakże, jeśli mówimy o trójkąta prostokątnego lub prostokąta, można go znaleźć na stronie danego obwodu. Prostokąt ma długi i szerokość. Jeśli narysujesz przekątną prostokąta, możeszUżytkownicy twierdzą, że łamie prostokąt w dwóch trójkątach prostokątnych. Przekątna jest przeciwprostokątną, a długość i szerokość - nóg trójkąta. Na placu, który jest szczególnym przypadkiem prostokąta, przekątna jest przeciwprostokątna od prawego trójkąta równoramiennego.

2

Załóżmy, że jest prostokątnytrójkąt o bokach a, b i c, dla których jeden z kątów jest równy 30, a drugi 60. Na rysunku pokazano, że a = c * sin? i b = c * cos? Wiedząc, że obwód dowolnej figury, w tym trójkąta, jest równy sumie wszystkich jej boków, otrzymujemy: a + b + c = c * sin? + C * cos + c = pIz to wyrażenie może znaleźć nieznaną stronę c, która jest przeciwprostokątną dla trójkąta. Więc jaki jest kąt? = 30, po transformacji otrzymujemy: c * sin? + C * cos? + C = c / 2 + c * sqrt (3) / 2 + c = p Wynika z tego, że c = 2p / [3 + sqrt (3)] Odpowiednio, a = c * sin? = P / [3 + sqrt (3)], b = c * cos? = P * sqrt (3) / [3 + sqrt (3)]

3

Jak wspomniano powyżej, przekątna prostokąta dzieli go na dwa prostokątne trójkąty o kątach 30 i 60 stopni. Ponieważ obwód prostokąta to p = 2 (a + b), szerokość a i długi b prostokąta można znaleźć, wychodząc od faktu, żeprzekątna to przeciwprostokątna trójkątów prostokątnych: a = p-2b / 2 = p [3 sqrt (3)] / 2 [3 + sqrt (3)] b = p-2a / 2 = p [1 + sqrt (3)] / 2 [3+ sqrt (3)] Te dwa równania wyrażone są w obwodzie prostokąta. Obliczają długość i szerokość tego prostokąta, uwzględniając uzyskane kąty podczas wykonywania przekątnej.

Instrukcje

1

Użyj, aby znaleźć obszar trójkątajedna z formuł wykorzystujących funkcje trygonometryczne, jeśli znane są wartości jednego lub kilku kątów w trójkącie. Na przykład, dla znanej wartości kąta (α) i długości boków tworzących go (B i C), obszar (S) można określić za pomocą wzoru S = B * C * sin (α) / 2. A ze znanymi wartościami wszystkich kątów (α, β i γ) i długości jednego boku dodatkowo (A), możemy użyć wzoru S = A2 * sin (β) * sin (γ) / (2 * sin (α)). Jeśli oprócz wszystkich kątów znany jest promień (R) ograniczonego okręgu, należy użyć wzoru: S = 2 * R² * sin (α) * sin (β) * sin (γ).

2

Jeśli kąty nie są znane, to dlaznalezienie obszaru trójkąta mogą być stosowane bez wzoru funkcji trygonometrycznych. Na przykład, jeśli wiadomo wysokość (H) pobranej z boku, którego długość jest również znane (A), a następnie za pomocą wzorze S = a * H / 2. A jeśli z uwagi na długość każdej powierzchni (A, B i C), przy czym najpierw uzyskać semiperimeter P = (A + B + C) / 2 i obliczenie powierzchni trójkąta pomocą wzorze S = √ (P * (p-a) * (p-w) * (P-C)). Jeżeli długość boków innych niż (A, B i C), znany promień (r) ograniczonego okręgu, a następnie za pomocą wzorze S = a * b * C / (4 * R).

3

Aby znaleźć obszar prostokąta, możesz równieżużyj funkcji trygonometrycznych - na przykład, jeśli znasz długość jego przekątnej (C) i wielkość kąta, który tworzy z jedną stroną (α). W takim przypadku użyj wzoru S = C² * sin (α) * cos (α). A jeśli znasz długości przekątnych (C) i kąt, jaki tworzą (α), użyj wzoru S = C² * sin (α) / 2.

4

Bez funkcji trygonometrycznych w wyszukiwaniukwadrat prostokąta może być pominięty, jeśli znane są długości jego prostopadłych boków (A i B), można zastosować wzór S = A * B. A jeśli podana jest długość obwodu (P) i jedna strona (A), użyj wzoru S = A * (P-2 * A) / 2.

Potrzebujesz

• - kalkulator;
• - Arkusz papieru i ołówek.

Instrukcje

1

Pamiętaj, co to jest dywidenda, dzielnik i iloraz. Pierwszy termin oznacza liczbę, która jest podzielna przez inną. Dzielenie liczb nazywa się dzielnikiem, a wynik nazywany jest ilorazem. W wielu przykładach wciąż pozostaje osad. Powstaje, gdy dywidenda nie jest wielokrotnością dzielnika, ale nie jest konieczne wykonywanie akcji za pomocą ułamków prostych lub dziesiętnych.

2

Oznacz jako nieznaną dywidendę jako x. Znane dane powinny być zapisane za pomocą cyfr lub znaków alfabetycznych. Na przykład zadanie może wyglądać tak: x: a = b. W tym przypadku aib mogą być dowolną liczbą, zarówno całkowitą, jak i ułamkową. Prywatny jako liczba całkowita oznacza, że ​​podział jest dokonywany bez reszty. Aby znaleźć dywidendę, pomnóż iloraz przez dzielnik. Formuła będzie wyglądać następująco: x = a * b.

3

Jeśli dzielnik lub iloraz nie jest liczbą całkowitą,pamiętaj o osobliwościach mnożenia prostych i dziesiętnych ułamków. W pierwszym przypadku mnożone są liczniki i mianowniki. Jeśli jedna liczba jest liczbą całkowitą, a druga jest prostą częścią, licznik drugiego jest mnożony przez pierwszy. Dziesiętne są mnożone w dokładnie taki sam sposób, jak liczby całkowite, ale liczba cyfr po prawej stronie przecinka jest sumowana, z uwzględnieniem końcowego zera.

4

Możesz spotkać się i podać przykład, gdy jest to prywatnynapisane z liczbą całkowitą, ale z resztą. Formuła wygląda zatem tak: x: a = b (aust.c). Pamiętaj, co to jest pozostałość i jak się ją tworzy. Na przykład potrzebujesz 15 podzielonych przez 4. Możesz uzyskać dwa wyniki. W pierwszym przypadku, w przypadku prywatnym, otrzymujemy 3 ¾ lub 3,75. W drugim przykładzie wygląda to tak: 15: 4 = 3 (ost.3). Powiedzmy, że nie znasz dywidendy, a przykład wygląda jak x: 4 = 3 (po lewej 3). Po pierwsze, nie zwracaj uwagi na resztę. Pomnóż iloraz dzielnikiem, tak jak w pierwszym przypadku. W tym przypadku otrzymasz 3 * 4 = 12. Dodaj resztę 3: 12 + 3 = 15 do wyniku.

Potrzebujesz

• - prostokąt;
• - władca;
• - ołówek;
• - nożyczki.

Instrukcje

1

Prostokąt jest figurą geometryczną, w której wszystkie cztery rogi są proste, a pary boków są równoległe do siebie. Po przeciwnych stronach prostokąt wzdłuż długości między sobą są takie same, a pomiędzy parami - różne. Plac różni się od poprzedniej figury tylko dlatego, że ma wszystkie cztery boki są takie same.

2

W celu zrobienia kwadratowy od prostokąt, możesz użyć linijki i ołówka. Na przykład strony prostokąt są równe 30 cm (długość) i 20 cm (szerokość). Następnie kwadratowy będą miały boki o mniejszej wartości, to jest 20 cm. Zmierz na górnej dłuższej stronie prostokąt 20 cm Wykonaj taką samą akcję, ale tylko pod spodem. Połącz uzyskane punkty za pomocą linijki. Jeśli to konieczne, odciąć nadmiar, w wyniku czego kwadratowy z bokami 20 cm.

3

Zrób kwadratowy od prostokąt nawet jeśli nie maakcesoria do rysowania. Umieść prostokąt przed sobą i zgnij jeden z jego prostych kątów (może to być dowolny kąt) ściśle w połowie. Jeśli umieścisz powstały kształt na dłuższym boku, pojawi się prostokątny trapez, składający się wizualnie z trójkąta i innego prostokąt. Złożyć powstały prostokąt na trójkąt(ta ostatnia będzie podwójna ze względu na złożony papier), gładka palcami i wyciąć lub delikatnie oderwać. Rozwiń papier, który sam się przedstawi kwadratowy. Od małych pozostałych prostokąt możesz dostać kwadratowy, tylko mniejszy rozmiar. Metody mogą używać tych samych.

4

Prostokąt może się nieznacznie różnićwymiary, na przykład 40 x 20 cm, czyli długość jest dokładnie 2 razy większa od szerokości. W tym przypadku weź linijkę i zmień na długim boku 20 cm (góra i dół), połącz uzyskane punkty i podziel na pół. Będą dwa identyczne kwadratowya. Jeśli jest niezawodnie wiadomo, że w prostokącie właśnie taki stosunek długości i szerokości (2: 1), wystarczy po prostu złożyć geometrię dwukrotnie, a następnie ją pokroić. Przy okazji, aby upewnić się, że stosunek jest naprawdę 2: 1 bez linijki, pod tym kątem prostokąt złożyć na pół. Następnie wykonaj tę samą akcję, ale tylko po drugiej stronie (symetrycznej do pierwszego rogu). Jeśli w wyniku wszystkich tych manipulacji okaże się prostokątny trójkąt, stosunek boków wynosi w rzeczywistości 2: 1.

Potrzebujesz

• -linearność;
• - ołówek;
• -calculator.

Instrukcje

1

Prostokąt to czworokąt, któregowszystkie kąty są równe 90 stopni. Jego wymiary zależą od długości boków. Ma ona kilka właściwości: - przeciwległe boki są równe i równoległe do - przekątne są równe i przepoławiać punkt przecięcia, - może być podzielona na dwie równe trójkąta prostokątnego, prostokąt -vokrug można opisać okrąg, jego średnica jest równa długości przekątnej.

2

Obszar prostokąta jestprodukt stron należących do jednego rogu. Jest on oznaczony literą łacińską S. Jeśli istnieje prostokąt o: - długości i b - szerokości, wzór obszaru ma postać: S = a × b. Jest to najbardziej powszechna i elementarna formuła.

3

Możesz znaleźć obszar, jeśli posiadasz dane na jego tematObwód prostokąta jest równy sumie jego boków pomnożonej przez dwa: P = (a + b) × 2. Jeśli w problemie jest znany i z jednej strony, powinniśmy użyć następującej formuły: S = a × ((P-2a) / 2)

4

Możesz także użyć obliczenia obszarutrójkąt prostokątny. Jest równy iloczynowi połowy swoich nóg. Przeciwprostokątna będzie przekątną prostokąta, a nogi będą bokami. Aby znaleźć jego obszar, należy pomnożyć otrzymaną wartość przez dwa. Ta opcja jest odpowiednia dla tych, którzy wiedzą, jak znaleźć obszar trójkąta.

5

Aby znaleźć obszar może być zaangażowany ifunkcje trygonometryczne. Przekątną można znaleźć za pomocą wzoru: d = √ (a2 + b2). Kąty między przekątnych są następujące: α = 2arctg (A / B), β = 2arctg (b / a), α + p = 180 ° C. Jeśli przekątne znanej długości i kąta pomiędzy nimi obszar jest ze wzoru: S = D2 • sin (α / 2) • cos (α / 2).

6

Jeśli prostokąt jest wpisany w okrąg, jego przekątna będzie równa promieniu tego okręgu. Obszar ten można znaleźć w następujący sposób: S = a × √ (R ^ 2-a ^ 2).

7

Czworokąt, w którym wszystkie boki są równe, nazywa się kwadratem. Jego powierzchnia jest równa długości boków na placu. Można go również znaleźć jako kwadrat przekątnej podzielony przez dwa.

Instrukcje

1

Najprostszy sposób na obliczenie obszaru prostokąt (S), jeśli warunki początkowe zawierają informacje o długości (H) i szerokości (W) figury. Za pomocą tego zestawu parametrów po prostu je pomnóż: S = W * H.

2

Trochę trudniejsze jest obliczenie powierzchni (S)Liczba ta, jeśli znana jest długość tylko jednego z jej boków (W), jak również dowolna z przekątnych (D). Z definicji obie przekątne prostokąta są równe, więc aby obliczyć ten obszar, rozważ trójkąt złożony z boku o znanej długości i przekątnej. Jest to trójkąt prostokątny, w którym przekątna jest przeciwprostokątna, a bok jest nogą. Użyj twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć długość brakującej strony i zmniejszyć formułę do tej opisanej w pierwszym kroku. Z twierdzenia wynika, że ​​długość nieznanej nogi powinna być równa pierwiastkowi kwadratowemu różnicy między kwadratami długości przekątnej i znanej strony. Zastąp tę wartość w formule z pierwszego kroku zamiast długości prostokąta, a otrzymasz wzór S = W * √ (D²-W²).

3

Bardziej złożonym przypadkiem jest obliczenie obszaruProstokąt podany przez współrzędne jego wierzchołków w dwuwymiarowej przestrzeni. Rozwiązanie problemu można zredukować do formuły z pierwszego kroku - w tym celu należy obliczyć długości dwóch sąsiednich boków figury. Tę wartość dla każdego z nich można obliczyć, biorąc pod uwagę trójkąty utworzone przez bok i jego rzuty na osi odciętych i rzędnych. Każdy z tych trójkątów będzie prostokątny, sam bok będzie jego przeciwprostokątną, a obydwa występy za nogi. Używając tego samego twierdzenia Pitagorasa, obliczyć pożądaną wartość dla obu stron.

4

Załóżmy, że dwie strony prostokąta posiadawspólnego punktu (to jest jego długość i szerokość) są podane współrzędnych trzech punktów A (X₁, Y₁), B (X₂, Y₂) i C (X₃, Y₃). Czwarty punkt nie może być brany pod uwagę - jego współrzędne nie mają wpływu na obszar figury. AB długość boku występu na osi x jest równa różnicy pomiędzy odpowiadającymi im współrzędnych tych punktów (X₂-X₁). Podobnie określana jest długość rzutu na oś rzędnych: Y₂-Y₁. Tak więc długość strony, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa można znaleźć jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów tych ilości: √ ((X₂-X₁) ² + (Y₂-Y₁) ²). Dodać ten sam wzór oraz bok BC: √ ((X₃-X₂) ² + (Y₃-Y₂) ²). Zastąpić wyrażenia uzyskane na szerokość i wysokość prostokąta wzorze pierwszego etapu S = V ((X₂-X₁) ² + (Y₂-Y₁) ²) * √ ((X₃-X₂) ² + (Y₃-Y₂) ²).

Instrukcje

1

Warto wyjaśnić, o co tu chodziznalezienie pierwiastka pierwotnego, którego modulo n jest liczbą g, tak, że wszystkie moce tej liczby modulo n są przejmowane przez wszystkie względnie pierwsze do n liczby. Matematycznie można to wyrazić następująco: jeśli g jest prymitywnym modulo root, to dla dowolnej liczby całkowitej takiej, że gcd (a, n) = 1, istnieje liczba k taka, że ​​g ^ k ≡ a (mod n).

2

W poprzednim kroku twierdzenie byłopokazuje, że jeśli najmniejsza liczba k, dla której g ^ k ≡ 1 (mod n) jest równa Φ (n), to g jest prymitywnym pierwiastkiem. Zatem jasne jest, że k jest wykładnikiem g. Dla każdego a, twierdzenie Eulera - a ^ (Φ (n)) ≡ 1 (mod n) zatrzymuje się - dlatego, aby zweryfikować, że g jest prymitywnym pierwiastkiem, wystarczy sprawdzić, czy dla wszystkich niższych Φ (n) liczb d, g ^ d ≢ 1 (mod n). Jednak ten algorytm jest raczej powolny.

3

Z twierdzenia Lagrange'a możemy wywnioskować, żewykładnik dowolnego z liczb modulo n jest dzielnikiem Φ (n). Upraszcza to zadanie. Wystarczy sprawdzić, czy dla wszystkich właściwych dzielników d | Φ (n), mamy g ^ d ≢ 1 (mod n). Ten algorytm jest znacznie szybszy niż poprzedni.

4

Faktoryzuj liczbę Φ (n) = p_1 ^ (a_1) ... p_s ^ (a_s). Wykazać, że w algorytmie opisanym w poprzednim kroku, jako d wystarczy rozważyć tylko liczby w następującej formie: Φ (n) / p_i. Rzeczywiście, niech d będzie arbitralnym właściwym dzielnikiem Φ (n). Wtedy oczywiście jest j takie, że d | Φ (n) / p_j, czyli d * k = Φ (n) / p_j.

5

Ale jeśli g ^ d ≡ 1 (mod n), to mielibyśmyg ^ (Φ (n) / p_j) ≡ g ^ (d * k) ≡ (g ^ d) ^ k ≡ 1 ^ k ≡ 1 (mod n). To znaczy, że okazuje się, że wśród liczb postaci Φ (n) / p_j byłby taki, dla którego warunek nie byłby spełniony, co w rzeczywistości miało zostać udowodnione.

6

Algorytm znajdowania korzenia pierwotnego, takiegosposób, będzie wyglądać tak. Pierwszy to Φ (n), to jest faktoryzowany. Po tym wszystkim liczby g = 1 ... n są uporządkowane, a dla każdego z nich uwzględniane są wszystkie wartości Φ (n) / p_i (mod n). Jeśli dla aktualnego g wszystkie te liczby są różne od jednego, jest to g i jest pożądanym pierwotnym katalogiem głównym.

7

Jeśli założymy, że liczba Φ (n) ma O (log Φ (n)),a potęgowanie odbywa się za pomocą binarnego algorytmu potęgowania, to jest O (log ⁡n), można znaleźć czas działania algorytmu. I to także O (Ans * log ⁡Φ (n) * log⁡n) + t. Tutaj t jest czasem faktoryzacji liczby Φ (n), a Ans jest wynikiem, to jest wartością prymitywnego pierwiastka.

Jak obliczyć obszar prostokąta

Przykładowe obliczenia